Le rôle et l'importance de la géométrie, notamment des mesures modulaires et des proportions, ont longtemps été un sujet très controversé parmi les historiens. Dans leur dernière publication A. Buchanan, J. Hilson et N. Webb [1], ont consacré un chapitre entier aux principes de conception utilisés dans la construction des voûtes gothiques : le "diagramme en étoile" (fig. 1) apparaît comme le système le plus simple pour diviser les segments et les surfaces en un nombre indéfini de proportions en "utilisant les points d'intersection des lignes qui le composent. (...) Les lignes perpendiculaires passant par ces intersections peuvent être utilisées pour diviser le champ en un nombre quelconque de cinquièmes. (...) D'autres fractions peuvent être créées [en reliant d'autres points d'intersection à la structure résultante]" (op. cit. p. 101).
Sa pertinence en termes de flexibilité, de créativité et de complexité géométrique n'est plus à démontrer [2]. Des preuves solides ont été trouvées sur une "surface à tracer" de la cathédrale de Wells, au Royaume-Uni, où la structure du diagramme en étoile semble avoir été appliquée [3], comme dans de nombreux autres schémas de voûtes gothiques de la fin du Moyen-Âge. Les sources écrites démontrent également clairement la fécondité de ce motif, comme dans le Musterbuch de Hans Hammer [4] : la "restitution géométrique" suivante (fig. 2) montre les différentes étapes d'élaboration du motif (fig. 2 : a à c) et l'utilisation d'un ensemble de proportions basées sur la structure interne du rectangle, soit 1/3 ou 1/4 de son côté.
Ce procédé géométrique a été prouvé par des opérations de rétro-ingénierie pour concevoir des plans de voûtes médiévales : à ce stade, il permet de dessiner l'un des centaines de modèles identifiés dans les différents carnets de croquis des tailleurs de pierre médiévaux.
La paternité de cette découverte reste cependant problématique. Le nom d'un ingénieur danois, Tons Brunés, a souvent été associé à ce diagramme, car il a publié un livre assez confidentiel en 1967 : Les secrets de la géométrie ancienne et son utilisation (Copenhague : édition Rhodos, 2 vol., 332 et 252 p.). Cependant, cette publication a occulté d’autres essais, beaucoup plus pertinents. En 1946, un typographe néerlandais nommé Johannes Alexander van de Graaf a publié une étude originale et unique, encore enseignée sous le nom de "canon de la composition typographique" (voir article d'août 2023). Il s’agit d’une « nouvelle méthode de calcul pour la composition », notamment pour diviser une page dans des proportions harmonieuses de 1:9, mais ce n’est rien d’autre que le « diagramme étoilé » appliqué à un rectangle « dynamique ».
Quelques décennies plus tôt, des artistes et des théoriciens de l'art avaient déjà exploré les règles de proportion dans des œuvres d'art de l'Antiquité à l'époque médiévale. Parmi eux, Jay Hambidge mérite une mention spéciale. Artiste et théoricien influent, Jay Hambidge (1867-1924) a mis au point un système permettant de définir des règles de composition complexes dans les peintures, appelé « symétrie dynamique » [5]. Son système utilise des rectangles dynamiques, y compris des rectangles basés sur des rapports tels que √2, √3, √5, ou encore le nombre d'or, etc. Son analyse des propriétés géométriques des rectangles √2 l'a amené à postuler que "les diagonales de l'ensemble et les diagonales des réciproques divisent la surface en une série infinie de rectangles √2 plus petits", révélant un modèle fondamental similaire au « diagramme en étoile » [6] (fig. 3).
J. Hambidge a ainsi ouvert la voie à d'autres études plus complexes visant à découvrir des motifs de base dans la composition des peintures, en particulier parmi les historiens de l'art, comme Walter Überwasser (1898-1972), historien de l'art suisse d'origine allemande, professeur d'université et conservateur des collections d'art publiques de Bâle. En 1930, il a publié une étude novatrice sur un motif géométrique du gothique tardif réalisé par un orfèvre bâlois [7].
Suivant les intuitions de Jay Hambidge, et grâce à l'observation et à l'étude de peintres (dont Giotto et Cennini), de maîtres d'œuvre (Villard de Honnecourt), ou d'historiens de l'art et de l'architecture, W. Überwasser a identifié un motif fondamental qui sous-tend de nombreuses conceptions géométriques ad quadratum. Il a eu la nette intuition que ce motif était une structure essentielle de la géométrie pratique que les maîtres d'œuvre médiévaux auraient pu comprendre et mettre en pratique.
En 1933, dans un ouvrage séminal - Von Mass und Macht der alten Kunst -, il explique le processus géométrique qui l'a conduit à cette hypothèse [8]: "Les lois symétriques de la division découlent de trois principes : la croix de l'axe, la diagonale et le triangle. Chacun de ces principes sera multiplié par lui-même et par les autres" (p. 76). Il propose ainsi 4 figures géométriques fondamentales (Fig. 4) :
1. Les médianes de la croix centrale ;
2. Les diagonales ;
3. Le triangle isocèle ;
4. La grille de trois.
Prises ensemble, elles offrent à l'artiste ou au designer un champ presque illimité de possibilités créatives : « La croix des axes et les diagonales de la figure ont en commun le point central. La croix des axes et le triangle ont en commun le sommet de l'axe central et les centres des moitiés de l'axe horizontal définies par l'axe vertical. Les perpendiculaires passant par ces points d'intersection relient également les points d'intersection des diagonales avec le losange. Ainsi, les points qui conduisent à la multiplication des divisions axiales sont en quelque sorte "générés" par eux-mêmes. Le triangle et les diagonales ont en commun, à gauche et à droite de la ligne médiane, deux nouveaux points dont la distance est égale à un tiers de la ligne horizontale totale. En faisant passer les axes horizontaux et verticaux par ces points, on obtient de la manière la plus simple la division tripartite du champ de l'image. Les intersections des trois systèmes donnent ainsi soit le principe de la division en deux, soit le principe de la division en trois, selon que l'on préfère l'intersection du triangle avec l'intersection des axes ou l'intersection du triangle avec les diagonales... » (W. Überwasser, op. cit. p.82).
Dans un autre ouvrage majeur - Nach rechtem Masz [9] - publié en 1935, W. Überwasser appelle ce procédé le « canon triangulaire» (« Dreieckskanon »), divisant tout carré en 3 à 7 parties ou plus (fig. 5). Il s'agit manifestement du tout premier "diagramme en étoile", qui permet de construire des figures « en juste proportion » (« in rechtem Mass »), comme le recommandaient Lacher ou Schuttermayer [10].
Une autre propriété géométrique doit être soulignée : en rabattant le côté du triangle isocèle, c'est-à-dire la demi-diagonale du carré, il est possible de construire le grand côté d'un rectangle d'or (fig. 6). Selon W. Überwasser, cette figure de base se retrouve aussi bien dans le carnet de Villard de Honnecourt (fig. 7) que dans l'œuvre de Dürer (op. cit., pp. 262-263) : « On ne s'étonnera pas que les maçons gothiques aient coupé à la fois la diagonale et le côté triangulaire de leurs quadrilatères pour obtenir de bons formats. Cela nous incite à poursuivre nos recherches. Il ne faut le mentionner ici que dans la mesure où chaque format peut à nouveau servir de base à une nouvelle division du plan. Là encore, les diagonales et les triangles en étoile peuvent être utilisés dans un nombre infini de changements, afin d'augmenter la surface à une puissance toujours nouvelle. De cette manière, même les variations les plus compliquées deviennent compréhensibles ». (W. Überwasser op. cit., 1935 ; p. 267-268).
W. Überwasser analyse de nombreux exemples d'architecture et de peinture d'une grande pertinence, du Moyen Âge (par exemple, les « justes proportions" » de la tour de la cathédrale de Fribourg) à la Renaissance (voir la géométrie complexe de Dürer dans un carré [11] : fig. 8)...
Pour toutes ces raisons, W. Überwasser peut être considéré comme le premier historien à avoir explicitement proposé le diagramme de la coupe en étoile comme clé de compréhension du système de proportions que les maîtres d'œuvre médiévaux auraient pu utiliser. Il est également le premier à avoir compris que ce dispositif géométrique était basé sur la géométrie pratique, une nouvelle discipline scientifique qui s'est développée de manière autonome à partir du XIIe siècle [12].
Figure 7 (2 visuels à gauche) - Voûte complexe d'une salle capitulaire selon Villard de Honnecourt. Restitution de la structure ad quadratum sur une grille modulaire de 5x5. (G. Barot, 2022).
Figure 8 (visuel de droite) - La géométrie de Dürer est un « témoignage de la doctrine des proportions redécouverte dans la construction gothique » (W. Überwasser, op. cit. 1935 ; p. 266).
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[1] Buchanan, A., Hillson, J. and Webb, N. (2021). Digital Analysis of Vaults in English Medieval Architecture. New York and London: Routledge, 289 p.
[2] Buchanan, AC and Webb, NJ, (2017). ‘Creativity in Three Dimensions: An Investigation of the Presbytery Aisles of Wells Cathedral’, British Art Studies, 6, p.
[3] Webb, N., Hillson, J., Peterson, JR, Buchanan, A. and Duffy, S. (2020). "Documentation and Analysis of a Medieval Tracing Floor Using Photogrammetry, Reflectance Transformation Imaging and Laser Scanning", In : Proceedings of the 38th eCAADe Conference – Volume 2, TU Berlin, Berlin, Germany, 16-18 September 2020, pp. 209-218.
[4] Manuscrit de la fin du XVe s., hébergé par la Herzog August Bibliothek, Wolfenbüttel, Allemagne, sous le numéro mss 114.1.
[5] Jay Hambidge publia 3 oeuvres magistrales dans les années 1920 : The Diagonal, an illustrated monthly magazine devoted to the explanation of the rediscovered principles of Greek design, their appearance in nature and their application to the needs of modern art. (New Haven, Yale University Press, c1919-1922) ; Dynamic symmetry : the Greek vase (New Haven : Yale University Press, 1920) ; The elements of dynamic symmetry, (New York, Brentano’s, 1926 ; 135 p.).
[6] Jay Hambidge The elements of dynamic symmetry, New York, Brentano’s, c.1926 ; p. 42 : la leçon 6 concerne les rectangles √2.
[7] W. Überwasser "Spätgotische Bau-Geometrie. Untersuchungen an den Basler Goldschmiedrissen", In : Jahrbericht der öffentlichen Kunstsammlunen, Basel, n°25-27, 1928/30, pp. 79-122.
[8] W. Überwasser Von Mass und Macht der alten Kunst, Heitz & Co, Leipzig, Strasburg - Zürich, 1933 ; 140 p. La partie 3 concerne les principes de partition ("die Teilungsprinzipien"), pp. 73-86. Le chapitre est divisé en 3 sous-parties : la partition de l’image ("die Bildteilungen"): pp. 76-79; les fonctions ("die Funktionen"): pp. 80-81; les points d’intersection ("die Durchschneidungspunkte") : pp. 82-83.
[9] W. Überwasser, "Nach rechtem Masz [Mass] : Aussagen über den Begriff des Maszes in der Kunst des XIII.-XVI Jahrhunderts", In : Jahrbuch der Preuszischen Kunstsammlung, n°56, 1935, pp. 250-272.
[10] Lorenz Lechler Steinmetzbuch, 1516, Bern; Universitätsbibliothek Heidelberg, Heid. Hs. 3858. Hanns Schmuttermayer Fialenbüchlein, 1489; Verlag der literarisch-artistischen Anstalt des germanischen Museums, Nürnberg, 1881; 13 p.
[11] A. Dürer, Underweysung der messung mit dem zirckel un[d] richtscheyt, in Linien ebnen unnd gantzen corporen, Nürnberg, H. Andreae, 1525 ; München, Bayerische Staatsbibliothek - mss. 119. Le tracé de Dürer est base sur la structure interne ducarré et une grille de 8x8.
[12] Hugues de Saint-Victor published his Practica Geometriae shortly before 1141. See St. K. Victor (ed.) Practical geometry in the high middle ages. Artis cuiuslibet consummatio, and the Pratike de geometrie, Philadelphia: American Philosophical Society, 1979. Pp. xii 638.