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L’art du tracé des voûtes, du plan à l’élévation – théorie et pratique du Prinzipalbogen

G. Barot, chercheur indépendant : ORCID 0009-0007-0880-4424

e-working paper n°5 / www.geometriesensible.com / juin 2024

DOI : 10.5281/zenodo.11973281


L’art du tracé des voûtes, du plan à leur élévation, s’appuie sur un ensemble de procédés complexes, rarement explicités, et de fait difficiles à restituer. Le présent article s’appuie sur l’étude extrêmement approdondie d’E. Pliego de Andrés sur la notion d’«arc principal» (« Prinzipalbogen », ou parfois dénommé « Haupt-Bogen », ou « Haupt-Circkel », « Quadrant », etc.) attribuée au maître-d’oeuvre allemand Bartel Ranisch (vers 1648-1709), auteur d’une monumentale Description de tous les bâtiments d'église de la ville de Dantzig, avec dessins et plans des églises[1], publiée en 1695 à Dantzig (aujourd’hui Gdańsk, en Pologne). Plus qu’une description, il s’agit d’une étude précise du plan, et surtout du tracé des voûtes, de 14 bâtiments – principalement construits en briques - datant de la fin de la période gothique. La plupart ont malheureusement été gravement endommagés durant la Seconde Guerre mondiale, et il n’est pas certain que leur restauration soit absolument conforme à l’original. Il est donc quasiment impossible de confronter les tracés de B. Ranisch à la réalité architecturale des édifices auxquels il se réfère… Il n’en demeure pas moins que sa « description » est devenue au XIXe. s. une référence majeure pour la compréhension du tracé des voûtes médiévales, notamment de la fin de la période gothique.

La présente étude a cherché à revenir au plus près du texte et des tracés de B. Ranisch afin de montrer que cet auteur a cherché à restituer le tracé des voûtes gothiques avec pragmatisme, sans chercher à fonder une « méthode », ni un quelconque « système »,, qui aurait donné une solution unique à des tracés par ailleurs fort complexes. Les divergences d’interprétation des historiens des XIXe s. et XXe s. viennent de qu’ils ont voulu « réduire » à quelques principes fixes une démarche fondamentalement plurielle et pragmatique, ne serait-ce – pour nombre d’entre eux – qu’en se cantonnant à un seul exemple, la description des voûtes de la basilique Sainte-Marie, laissant de côté 13 autres cas d’études… L’analyse d’E. Pliego de Andrés est à ce titre admirable de précision, de rigueur et de justesse. Nous y ajoutons les proportions[2] de la forme initiale contenant la voûte en plan, ainsi que le tracé régulateur permettant de restituer la géométrie des liernes et tiercerons.


Fig. 1 (à gauche) – Etat actuel du chœur de Ste-Catherine, Gdańsk, qui ne correspond pas nécessairement à ce que nous en donne B. Ranisch… (Crédit : E. Pliego de Andrés, op. cit. p. 409).

Fig. 2 (au centre) – Voûtes du chœur de Ste-Catherine. Restitution : G. Barot (cf. E. Pliego de Andrés, ibid.)

Fig. 3 (à droite) – Plan des voûtes du chœur de Sainte-Catherine, Gdańsk : rectangle 1 x√2 et grille de huit mailles. Restitution inédite: G. Barot, 2023.



Tracé des voûtes en plan – Ce tracé n’est pas décrit par B. Ranisch, mais il apparaît clairement qu’il est réalisé à partir d’un rectangle 1 x √2 et d’une grille modulaire de huit mailles. La distance entre les clés secondaires e et g – soit la mesure de la lierne eg - est égale à 1/4 de la largeur du rectangle initial. La distance entre les clés secondaires cet h – soit la mesure de la lierne ch - est égale à 3/2 de la largeur du rectangle initial… Le tracé est donc parfaitement régulier, construit à partir de la structure interne de la forme initiale (1 x √2).


 

Du plan à l’élévation – Suivons ici les explications de l’auteur : «Ces voûtes sont au nombre de trois et nous voulons en dessiner le plan et l'élévation. Considérons tout d’abord, en plan, le quart de cercle de a à b. Puis nous reportons la distance ab pour dessiner [en élévation] un quadrant «aveugle[1]». Après cela, nous prenons la distance de a à c –en plan – et la reportons en élévation – sur le quadrant – à partir de la verticale a pour tracer, en fonction de cette distance, une autre verticale c. Pour définir sa hauteur, il s'agit de maintenir la même distance et de tracer avec elle un arc de cercle dans le quadrant ci-dessus à partir de a. À l'intersection des deux, il s'agit de tracer une horizontale jusqu'à la verticale c, où se trouve sa hauteur. A partir de ces deux points, il faut tracer sous l'intersection, qui sera le centre de l'arc ac(B. Ranisch op. cit., chapitre L, n°. III ; p. 53).


Fig. 4 (à droite) – Report de la distance entre les clés a et c sur l’axe horizontal des impostes. Elever une perpendiculaire à c ; Fig. 5 (au centre) – Report de la distance entre les clés a et c, à partir de a, sur l’arc du quadrant (ab) ; Fig. 6 – Tracé de l’arc (ac) de rayon ab. Le centre O de cet arc est à l’intersection des arcs de rayon ab tracés à partir de a et c sur le quadrant.


Principes généraux du Prinzipalbogen : une double projection, horizontale et verticale sur les axes d’un quadrant.


Fig. 7 – Diagonale ab représentant l’arc diagonal, le quadrant virtuel où sont projetées la hauteur des clés.

  •   La hauteur des clés est projetée sur un « quadrant virtuel », un quart de cercle correspondant à l’arc diagonal (ab: il s’agit de la nervure reliant deux points d'appui en passant par la clef de voûte. Situées au sommet de la voûte, les ogives - en se croisant - permettent de reporter l'ensemble du poids de la voûte vers ses quatre supports. En plan, il s’agit de la diagonale ab. En élévation, c’est le «quadrant aveugle» (ou plutôt « virtuel ») où est projetée la hauteur des différentes clés (fig. 7).




  • La distance entre les clés successives – sur le plan – est reportée avec exactitude - en élévation - sur l’axe horizontal des impostes (fig. 4) ;


  • Pour définir la hauteur des clés, il convient de reporter la distance – sur le plan - entre une clé et la clé principale a, et de la reporter – en élévation – sur l’arc de cercle du quadrant (fig. 5). Sauf si ces clés sont alignées sur l’arc principal, la distance entre les clés et la distance par rapport à la clé de voûte principale diffèrent sensiblement. Dans le cas présent, pour la clé c, l’écart est infime (fig. 6) ;


  • Le tracé du tierceron (ac), résulte de la méthode des 3 arcs : son centre O est situé à l’intersection de deux arcs de rayon fixe ab, tracés à partir des deux clés a et c. Le rayon de la nervure (ac) est lui aussi fixe, égal à ab.


  • D’une manière générale, tous les rayons sont fixes et équivalent à la diagonale ab. C’est le rayon du cercle circonscrit à la forme initiale (de rapport 1 x √2).

 

Définition- « Le Prinzipalbogen est un groupe de méthodes apparentées à rayon fixe qui s'articulent autour de l'utilisation d'un arc principal pour définir la courbure de toutes les nervures de la voûte. Ce «Prinzipalbogen  est presque toujours une forme de diagonale, qui a généralement la plus grande portée de toutes les nervures de la voûte. Les différences entre chaque méthode résident dans la façon dont le rayon du Prinzipalbogen est défini et dans les techniques spécifiques utilisées pour le transférer à travers les nervures de la voûte ». (Buchanan, A., Hillson, J. and Webb, N. – 2021 ; p. 154)

 

B. Ranisch poursuit : « Ensuite, prendre la distance de c à d - en plan – et la reporter à partir de la verticale c pour tracer une nouvelle verticale. Pour trouver sa hauteur, il s’agit de prendre la distance de a à d - en plan - pour tracer un arc de cercle dont le centre est en a sur le quadrant. Là où il coupe le quadrant, et à partir de ce point, il faut tracer une courte ligne horizontale jusqu'à ce qu'elle croise la verticale d, ce qui donnera la hauteur exacte de l'arc cd. Il faut maintenant tracer l'intersection de ces deux points, ce qui donnera le centre de l'arc cd. » (B. Ranisch ibid.).


Fig. 8 – Tracé du tierceron (cd).

Il suffit de répéter ici la procédé créé pour déterminer le point c, sachant que les distances entre les clés sont reportées sur l’axe horizontal, tandis que la hauteur des clés est mesurée à partir de la clé de voûte principale a et projetée sur le quadrant, en élévation : reporter – à partir du plan - la distance cd sur l’axe horizontal et tracer une verticale passant par d ; tracer l’intersection d’ de l’arc (ad) avec le quadrant – en élévation – et déterminer d sur la verticale, à la même hauteur que d’ ; tracer ensuite l’arc (cd) à partir de l’intersection des arcs centrés en c et d, sachant que tous ces rayons sont fixes et égaux à ab (fig. 8). Pour ce qui est de l’arc formeret (db), il suffit de reporter sur l’axe horizontal la distance db en plan, et de repérer la projection du point b sur cet axe. Le centre de l’arc (db) est à l’intersection des arcs de rayon (fixe) ab, tracés à partir des points d et b (fig. 9).


Fig. 9 – Tracé du formeret (db).

Variantes

Il serait illusoire de croire que B. Ranisch ait fourni un exposé systématique de la construction des voûtes. Ses autres tracés montrent des variantes importantes, comme l’a parfaitement exposé E. Pliego de Andrés (op. cit., p.414-415).

 

Variante 1. La hauteur d’une clé est définie par rapport à la clé la plus proche (et non pas à partir de la clé de voûte principale). Un exemple est donné avec le tierceron (dg) et sa clé g, définie à partir de d (fig. 10). Reporter sur l’axe horizontal la distance dg à partir du plan, et définir la hauteur de g par intersection de la perpendiculaire issue de g et l’arc (dg) tracé à partir de d.



Fig. 10 – Tracé du tierceron (dg).

Sur le schéma ci-dessus, repérer les effets de symétrie pour rendre le tracé plus clair (exemples du tracé de f et g).

 

·      Variante 2. La position d’une clé est déterminée par sa distance à la précédente, et non par rapport à la clé principale, sa hauteur étant nécessairement située sur le quadrant.

 

Un exemple est donné par le tracé des voûtes de la nef de l’église Sainte-Catherine (à Gdańsk, Pologne), construit sur un rectangle de proportion 2x5 (env.) et une grille modulaire de cinq mailles (fig. 11).

Fig. 11 – Plan des voûtes de la nef de l’église Sainte-Catherine (Gdańsk, Pologne), d’après B. Ranisch (cf. E. Pliego de Andrés ibid.)

Le décalage est évident entre le positionnement des clés sur le quadrant et la distance entre les clés, sur plan, tel que rapporté sur l’axe horizontal : la projection de l’arc cd à partir du quadrant excède la distance cd sur l’axe horizontal.

 

 

·      Variante 3. L’arc principal n’est pas l’arc diagonal. E. Pliego de Andrés a ainsi parfaitement montré que, dans le cas du tracé des voûtes de l’église du Saint-Esprit (à Gdańsk, Pologne), l’arc principal est en fait la médiane horizontale ! La hauteur des clés correspond ainsi à leur distance, en plan, par rapport à cet axe (en non plus par rapport à une clé de voûte en position centrale). Sur la figure 12, la hauteur de la clé c est ainsi la distance de c par rapport à l’axe ab (segment rouge, fig. 12).


Fig. 12 – Etat actuel des voûtes de la nef de l’église de la Sainte-Trinité (Gdańsk, Pologne/ cliché E. Pliego de Andrés), et plan d’après B. Ranisch (op. cit. chap. XL, p. 44) et E. Pliego de Andrés (op. cit. p. 416-417). Tracé de l’arc (ac) d’après E. Pliego de Andrés (ibid.).


Il semble que de nombreuses variantes soient possibles. L’une des conditions impératives étant que la distance entre les clés – en plan – soient reportées avec exactitude sur l’axe horizontal – en élévation. La hauteur des clés est fixée sur le quadrant, en reportant la distance de chaque clé soit à partir de la clé principale, soit à partir de la clé précédente…

 

Exemple du tracé des voûtes de la basilique Sainte-Marie (à Gdańsk, Pologne).


Il s’agit de la première description proposée par B. Ranisch (op. cit., chap. III, p. 5), d’ailleurs la plus reprise par les commentateurs des XIXe et XXe s. ! Le plan est inscrit dans un rectangle de proportion sesquialtère (3:2) et l’étoilement est tracé de manière particulière avec un retrait (cd) équivalent à 1/9 de la longueur mais 1/5 de la largeur (distance ef) ! De ce fait, les deux liernes bc1 et bc2 n’ont donc pas la même longueur, selon que la lierne est longitudinale ou transversale[4] ! Sur le schéma de B. Ranisch, les clés c1, c2 et d sont alignées.


Sur la figure 13, ci-dessus, c’est l’arc bc1 qui est tracé : il est sensiblement plus long que l’arc fc2.


Fig. 13 – Plan des voûtes de la nef de la basilique Sainte-Marie (Gdańsk, Pologne), d’après B. Ranisch (op. cit. chap. II, p. 5, n° 1 et 2).
Fig. 14 a – Voûtes de la nef de la basilique Sainte-Marie (Gdańsk, Pologne) : cliché d’E. Pliego de Andrés.
Fig. 14 b - Superposition du tracé de B. Ranisch (op. cit. chap. II, p. 5, n° 1 et 2) avec la restitution réalisée pour la présente étude G. Barot, 2023), qui semble juste.


















Il reste 5 pages à lire : postérité et limites (travaux de G. Ungewitter et F. Hoffstadt au XIXe s. ; recherches de l'Université de LIverpool, de l'Université Polytechnique de Madrid, quelques autres méthodes, dont celle basée sur un tracé de V. de Honnecourt, etc., bibiographie). Merci de télécharger le document complet (format .pdf: 700 ko)


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[1] Le sens n’est pas clair mais peu signifier « virtuel », au sens où ce quadrant n’est pas matériellement construit sur la voûte. Il sert simplement à projeter la hauteur des clés sur le tracé.

[1] B. Ranisch (1695) Beschreibung Aller Kirchen-Gebäude der Stadt Dantzig mit Zeichnungen und Grundrissen der Kirchen, älteste erhaltene systematische bautechnische Beschreibung der Danziger Kirchen ; Raths und Gymnasii Buchdruckern, Johann Zacharias Stollen ; 194 p. et illustr.

[2] Voir l’analyse judicieuse de J-C Palacios Gonzalo (2003) su les voûtes espagnoles (First International Congress on Construction History, 20-24/01/2003, Madrid : lire pp. 1550 et 1551) : proportions doubles, dorées, sesquialtères, sesquitierces ou sesquiquartes, etc.

[4] Ce point est simplement évoqué, sans être résolu, par E. Pliego de Andrés, op. cit. p. 423.




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