Pentagone et triangle Phi...

L'originalité du tracé de D. Naert réside dans l'utilisation de Phi, Nombre d'Or dont l'émergence est si discutée dans l'architecture médiévale.

L'enjeu est de comprendre comment a été tracé le cercle violet de rayon OC.

Cheminement (figure de droite):

  • tracer le Cercle initial, de rayon  OA (de diamètre 34 cm ... pour 34 pieds...);

  • inscrire un Pentagone (en bleu)... à la règle et au compas, cela va sans dire... Voir D. Naert op. cit. p. 84

  • construire le Double Carré en tirets bleus. Chaque Carré est de côté 1 (si le rayon du Cercle initial vaut 1) et la diagonale du Double Carré vaut Racine 5

  • Le cercle en tirets bleus, de centre OO, inscrit dans un Carré de côté 1, est de diamètre 1

NaertReims1.png
NaertReims2.png
  • AB mesure donc: AOO + OOB, soit (√5)/2 + 1/2, soit encore (1+√5)/ 2 = φ = 1.618...

  • Tracer l'arc AC, de rayon AB, coupant en C à la fois le  double Carré et le cercle violet;

  • AOC est un triangle rectangle en O. Si OA = 1 et AC = φ, alors OC vaut √φ (en application du théorème de Pythagore).

  • Le cercle violet est donc de rayon OC = √φ

  • Sa surface vaut √φx√φxPi = φ x π = 5. Noter que le Carré initial (vert) a une aire de 4... et le cercle initial (rayon 1) a une aire proche de 3 (en fait 1x1xπ)... 3-4-5... ce sont là les mesures du Triangle  d'Isis... base du théorème de Pythagore... traçable à la corde à 13 noeuds...

Propriété (figure ci-dessus):  tracer un deuxième pentagone, inversé... Par les quatre sommets de part et d'autre de l'axe horizontal, tracer le Carré sur Pointe qui les circonscrit. Ce Carré s'inscrit dans un cercle de rayon √φ. Son côté mesure donc √2x√φ...

 

Cette figure où se réfléchissent 2 pentagones se retrouverait déjà dans le tracé régulateur du temple d'Horus à Edfou... mais également dans le tracé régulateur du "bosquet de la salle du Conseil" à Versailles (cf. plans de Le Nôtre étudiés par M. Corajoud, J. Coulon, et M-H Loze "Versailles : Lecture d’un jardin" (texte paru dans les annales de la recherche urbaine N°18-19 juin 83 aux éditions Dunod).